内部エネルギーは温度のみの関数か?
高校までの物理で、内部エネルギーは温度のみに依存することを習いました。今回はこのとこを確かめていきたいと思います。
はじめに
物質量が変化しない1成分からなる系の自由度は2です。
従ってのうち2つの変数を選べば、系の熱力学的状態は決定されますね。
今回はとして考えます。(理由は後述) するとの微分は
となります。この式について、に関する項が0であれば、温度だけに依存すると言えそうですね!
ここで、Uの変数として「自然な」独立変数S、Vを選ぶと
この両辺をT一定のもと、dVで割ると
このようには簡単に求められるので、最初の変数としてVを選びました。(Tについての関数を確かめるから、Tは必然として)
次はを計算していきます。これについては、次の関係式を使います。
Maxwellの関係式
ですね。(これについてはまた今度書くかも?)
これを用いて(1)式を変形すると
となります。
理想気体の場合
理想気体ではですから、(2)式に代入すると
ですから、Uは温度のみに依存すると言えますね!
実在気体の場合
実在気体のモデルの例として、ファンデルワールス気体を考えます。この場合、Pは
ですから、(2)式に代入すると
となります。実はこの場合では、UはTのみに依存するとは言えません!T一定だからといって、dU=0ではない。 (これ、結構間違えます笑)
まとめ
・理想気体のとき
・ファンデルワールス気体のとき